张德州, 刘文锴, 熊晓峰, 冯党, 宋书学
(1.河南省地球物理空间信息研究院,河南 郑州 450009; 2.河南省地质物探工程技术研究中心,河南 郑州 450009;3.华北水利水电大学,河南 郑州 450046; 4.南水北调中线建管局渠首分局,河南 南阳 473000)
针对上述问题,本文在工程实践的基础上提出了一种基于渐消因子的改进自适应滤波器。根据假设检验的结果在每个历元上进行渐消滤波或鲁棒估计。利用GNSS/INS组合导航系统采集的实测数据,对所提算法进行测试,并与常规滤波器的解算结果进行对比分析,以验证该算法的有效性。
1.1 渐消滤波的基本准则
在满足高斯分布假设的情况下,卡尔曼滤波具有良好的性能。但是,若模型误差较大,脱离了高斯分布假设,则可能导致滤波器发散。针对动态模型误差,研究人员提出利用渐消滤波器[14]来限制卡尔曼滤波器的“记忆长度”。对于动力学方程:
xk=Φk,k-1xk-1+wk,
(1)
先验状态估值xk,k-1为:
xk,k-1=Φk,k-1xk-1。
(2)
式中:xk和xk-1分别为k和k-1历元的状态向量;Φk,k-1为状态转移矩阵;wk为状态噪声矩阵。
假设Hk和zk分别为观测矩阵和观测向量,则卡尔曼滤波的迭代解xk/k为:
(3)
(4)
(5)
与传统卡尔曼滤波器的协方差矩阵相比,渐消滤波器中xk,k-1的协方差矩阵膨胀了Sk倍,更加注重当前测量信息的作用。因此,由于渐消因子的存在,前一历元带来的状态模型误差得到了很好的减弱。由此也可以看出,当前测量信息可靠与否,直接影响着渐消因子的效果。
1.2 渐消因子的估计方法
渐消滤波器的重点工作是构造合适的渐消因子。理论上,当误差异常时,应放大渐消因子Sk。研究人员提出了一种具有最优渐消因子的滤波器,并给出了简化的渐消因子[14]:
Sk=max{1,tr(Nk)/tr(Mk)};
(6)
(7)
(8)
(9)
Vk=Hkxk,k-1-zk。
(10)
除采用单因子渐消滤波器外,还开发了用于渐消滤波器的渐消矩阵[12]。与单因子渐消滤波器不同,渐消矩阵滤波器能够根据状态向量元素的可观测性在多个数据通道中进行调整。渐消矩阵可表示为:
Sk=diag(s1,s2,…,si,…,st,1,…,1,…,1),
(11)
(12)
在公式(11)中,s1、s2、…、st能够自适应地进行估计,其他元素均赋值为1。
渐消滤波器中更加重视当前测量信息[11],为了达到理想的滤波效果,当前的测量信息必须可靠。然而,很少有文献讨论渐消滤波器中当前测量信息不可靠的情况。实际上,渐消滤波器中的单渐消因子和渐消矩阵都是基于测量结果得到的预测残差向量来构造的。可见,渐消滤波器的性能与测量值的精度密切相关。因此,应适时、合理地使用渐消因子/矩阵,制定针对不可靠观测信息的有效处理策略。若过程噪声和测量噪声符合高斯分布,则离散线性随机状态空间模型可表示为:
(13)
m维观测值的概率密度函数ρ(zk)可表示为:
(14)
为控制异常观测误差的影响,Rk需自适应进行估计与更新,以降低异常观测量的权重或者删除异常观测值。一般地,先验状态向量中的元素是相关的[11]。因此引入双因子协方差膨胀参数λij[15],即:
(15)
(16)
近年来,GNSS/INS组合导航系统已成为动态导航定位领域的热点[16-17]。GNSS和INS的集成主要分为3种模式,即松耦合、紧耦合以及超紧耦合。其中,松耦合系统实施方便,成本较低,应用较为广泛,因此本文采用松耦合模式。对于GNSS/INS各种集成系统,应针对非线性问题实现非线性滤波。
zk=[ΔrΔv]T。
(17)
实际上,松耦合GNSS/INS组合导航系统中的观测方程为线性方程,因此其量测更新过程可以表示为:
xk,k=xk,k-1+Kk(zk-Hkxk,k-1),
(18)
(19)
Pk,k=Pk,k-1-KkHkPk,k-1。
(20)
显然,状态估计值与测量值密切相关,不可靠测量值可能会造成不可估量的影响。然而,在实际中不可靠的测量是不可避免的。因此,对异常测量值必须进行谨慎处理。渐消因子/矩阵和抗差估计方法已在GNSS/INS组合导航系统中得到应用。针对渐消因子对滤波效果的影响,可采用基于马氏距离和协方差膨胀因子构建的判断指标来提高滤波效果。
为验证所提算法的有效性,本文设计了不同的滤波算法数据处理试验。以地面车辆作为测试载体,车辆上装备有GNSS接收机和惯性测量单元(Inertial Measurement Unit,IMU)。同时,另一台GNSS接收机安装在地势较高处作为基准站。利用地面车辆在真实条件下采集数据。在测试系统中,卫星截止高度角设置为10°,GNSS采样频率为1 Hz,INS采样频率为100 Hz,以商用软件提供的双差紧耦合结果作为参考。
在GNSS/INS集成系统的数据融合中,数据融合解算的时间间隔为1 s。试验中,分别采用初始数据和带有异常观测值的数据测试了不同算法的性能。因此,设计并实施了两种试验情形。每一种情形由4种方案组成,同时将每种算法的结果与参考值之差作为解算误差。对比单个渐消因子和渐消矩阵发现,渐消矩阵能够同时在多个数据通道中调整协方差矩阵,具有更好的性能,增强了抵御模型失配的能力,因此本文采用渐消矩阵进行试验。对于本文的所有算法,协方差的初始值都是根据经验确定的,因此模型参数存在一定的统计偏差。4种方案为:①传统卡尔曼滤波器;②渐消矩阵滤波器;③接受零假设的渐消矩阵渐消滤波器;④在接受零假设时采用渐消矩阵滤波器,否则利用协方差膨胀因子对异常观测值进行序列更新。
试验1:本试验中利用GNSS/INS组合系统采集的数据分别采用上述4种方案进行处理。各算法的定位误差如图1—4所示。
图1 方案①的定位误差
图2 方案②的定位误差
图3 方案③的定位误差
如上所述,每种方案都是基于初始测量值实现的。初始测量值是在良好的观测条件下采集的,测量值中存在少量的异常值。因此,由初始测量值解算产生的定位误差主要是由模型偏差带来的。对比图1—4可以明显看出:方案①算法在X、Y、Z方向上的误差幅值要比其他算法的大,说明传统卡尔曼滤波算法的性能有待提高;后面3种算法有效抑制了模型不确定性引起的滤波器发散,提高了滤波器的稳定性。理论上,方案②和方案③的主要区别在于采用渐消矩阵的时机。对于初始测量值,零假设在大多数历元上都被接受,因此方案②和方案③的结果是相似的。除了零假设被接受的历元外,方案④算法在其他历元中均采用了协方差膨胀因子,从理论上弱化了异常测量的影响。因此,图4所示算法的误差幅值比其他3种算法的误差幅值小。
图4 方案④的定位误差
为便于表达各算法的性能,计算了各算法的均方根误差。图5给出了各算法在X、Y、Z3个方向上的均方根误差(RMSE)。
图5 各方案的定位均方根误差
从图5可以看出,方案①比其他3种算法的RMSE都要大得多,说明传统卡尔曼滤波算法的稳定性和鲁棒性还需要进一步加强。比较方案②算法和方案③算法的RMSE值发现,前者的效果更好,模型误差的影响比异常测量值的影响更显著。在方案③算法的基础上,本文所提出的改进算法能够拒绝原假设的历元附加协方差膨胀因子。显然,图5中方案④算法的RMSE值比其他算法的RMSE值要小,说明有更高的解算精度。由于模型误差的影响减弱,所有渐消滤波算法的RMSE都小于CKF算法的,并且方案④算法在精度上优于其他算法。
试验2:本试验人为加入渐变及突变的定位异常值,以检验各算法的稳定性和抗差性,从而构造基于初始数据的扰动数据。4种算法均基于扰动数据实现,各算法的定位误差如图6—9所示,图10描述了各算法在X、Y、Z3个方向上的均方根误差。
图6 方案①的定位误差
图7 方案②的定位误差
图8 方案③的定位误差
图9 方案④的定位误差
图10 各方案的定位均方根误差
相对较大的异常观测值数量是影响滤波性能的主要因素。分析图6—9以及图5和图10发现,所有算法的误差振幅都比试验1中的振幅大,说明所有算法都受到了测量异常值的显著影响。由于方案①和方案③算法没能有效地处理测量异常值,图6和图8显示的测量异常值影响比图7和图9中的更明显。方案③算法在接受零假设且模型误差得到良好控制的情况下采用渐消矩阵,其性能优于方案①算法。在方案②中,当接受零假设时,渐消矩阵表现良好,而当拒绝零假设时,渐消滤波器变得不稳定。对比图6和图7可以看出,在某些历元,方案②算法的振幅甚至比方案①算法的还要大。方案④算法考虑了模型误差和测量异常值,并在相对合理的时机采用渐消矩阵。在图9中,3个方向的误差振幅都比其他算法的误差振幅小,说明方案④算法有更好的性能。但对于连续变化的异常观测值可能会出现数值太小而导致的检验失败。因此,在图9的某些历元,方案④算法的性能仍然会受到连续变化的异常观测值的影响。
本文针对异常观测值研究了渐消因子/矩阵的自适应状态估计问题,得到如下结论:
1)传统卡尔曼滤波算法难以有效抵抗异常观测值的影响,其滤波鲁棒性还需要进一步加强。
2)基于渐消矩阵的自适应滤波器能够控制模型误差的影响,但当测量数据中存在异常值时,滤波器的性能可能会显著下降,本文的数据试验结果也验证了这一点。
3)利用异常观测值残差构造出的渐消矩阵将导致滤波性能变差,不合理地使用渐消滤波将带来相反的效果。因此,渐消滤波在工程应用中应采用适时及合理的方式。
4)通过异常探测提高了渐消滤波器的稳定性,有效地控制了模型误差和测量异常值的影响。
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