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★几何图案的对称形态
伽罗瓦的群论，不仅仅讨论几何图形的对称，还谈论对称性。以直观的对称几何图形来看，对称有六种类型：镜像对称，就是我们所说的轴对称，比如蝴蝶、人脸;旋转对称，也就是我们说的中心对称，在平面里绕着一个点旋转，立体空间绕着一根轴旋转之后保持不变，比如太极图案、海星等;平移对称，是说在平面或者立体空间，无限延伸也保持不变，比如墙纸上规律的花纹、攀爬架等。
此外，还有镜像+旋转的对称、平移+镜像的对称，还有平移+旋转的对称。其中平移+镜像有比较直观的例子：仔细观察一下你在沙滩上留下一前一后的脚印，把后脚印向前平移，再镜像对折，两个脚印就完美地重合在一起了。
对称与格子镶嵌
对称在很多领域都非常重要，比如艺术、建筑学生物学、化学、物理、天文学等。以艺术为例，地毯、墙纸的图案，多是以镜像、平移、旋转和平移+镜像的方式镶嵌而成。也许你觉得印花不同，壁纸群就应该有很多种。错了。结合密铺知识，只有正三角形、正方形和正六边形可以实现密铺，其他各种图案镶嵌都是在这三类上变换的。不同的重复模式才是本质上.的不同，事实上壁纸图案只有17种类型。